Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Εξίσωση Laplace ($\nabla^2 u=0$)

Πολικές συντεταγμένες

Clear["Global`*"] PDE = Laplacian[u[φ, ρ], {ρ, φ}, "Polar"] // Expand r = 5; f[φ_] := Cos[φ] + (Sin[φ])^2 + (Cos[φ])^3 u[φ_, ρ_] := R[ρ]*Φ[φ] (ρ^2 PDE[[1]])/( R[ρ]*Φ[φ]) // Expand eqR = ρ Derivative[1][R][ρ] + ρ^2 R''[ρ] == λ*R[ρ] eqΦ = Φ''[φ] == -λ*Φ[φ] Πάμε να λύσουμε τη δεύτερη Σ.Δ.Ε. για τα διάφορα πιθανά λ. Assuming[λ < 0, DSolve[eqΦ, Φ, φ]] Assuming[λ == 0, DSolve[eqΦ, Φ, φ]] Assuming[λ > 0, DSolve[eqΦ, Φ, φ]] Η μόνη περίπτωση που σέβεται την περιοδικότητα της συνάρτησης Φ και τον μη-μηδενικό χαρακτήρα της είναι η τελευταία. Οπότε θα θέσουμε λ==n^2 και θα λύσουμε την άλλη Σ.Δ.Ε., για να βρούμε το R. λ = n^2; eqΦ DSolve[eqΦ, Φ[φ], φ] eqR DSolve[eqR, R[ρ], ρ] Έχουμε, συνεπώς, για τη συνάρτηση Φ: Clear[Φ] Φ[φ_, n_] := a[n]*Cos[n φ] + b[n]*Sin[n φ] Όσον αφορά τη συνάρτηση R, προφανώς: $\cosh(n\ln(\rho))=\frac{e^{n\ln(\rho)}+e^{-n\ln(\rho)}}{2}=\frac{\rho^n+\rho^{-n}}{2}$ και $\sinh(n\ln(\rho))=\frac{e^{n\ln(\rho)}-e^{-n\ln(\rho)}}{2}=\frac{\rho^n-\rho^{-n}}{2}$. Επομένως κάποιοι από τους γραμμικούς συνδυασμούς θα είναι συναρτήσεις της μορφής $ρ^n$. Πάμε να το ελέγξουμε και μέσω του Mathematica: C[1] Cosh[n Log[ρ]] + I C[2] Sinh[n Log[ρ]] // TrigToExp Clear[R] R[ρ_, s_] := ρ^s Καθόσον οι όροι `ρ^-n` οδηγούν σε ανεπιθύμητους απειρισμούς, έχουμε την αναμενόμενη απάντηση στις εξισώσεις Euler `R(ρ)==ρ^n`. Προσπαθούμε ακολούθως να εκφράσουμε τη γενική λύση σε μορφή σειράς. uSeries[φ_, ρ_, n_] := Sum[R[ρ, j]*Φ[φ, j], {j, 0, n}] uSeries[φ, ρ, 4] Το όλο ζήτημα τώρα είναι να βρούμε τους συντελεστές `a[n]` και `b[n]`, ώστε να ισχύει: $a_0+r(a_ 1\cos(\phi)+b_ 1\sin(\phi))+r^2(a_ 2\cos(2\phi)+b_2\sin(2\phi))+r^3(a_ 3\cos(3\phi)+b_ 3\sin(3\phi))+\cdots=f(\phi).$ Οπότε θα πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο με τις συναρτήσεις `cos(nφ)` και `sin(nφ)`. a[0] = Integrate[f[φ], {φ, 0, 2 Pi}]/Integrate[1, {φ, 0, 2 Pi}] b[0] = 0; a[n_] := Integrate[f[φ]*Cos[n*φ], {φ, 0, 2 Pi}]/ Integrate[r^n (Cos[n*φ])^2, {φ, 0, 2 Pi}] b[n_] := Integrate[f[φ]*Sin[n*φ], {φ, 0, 2 Pi}]/ Integrate[r^n (Sin[n*φ])^2, {φ, 0, 2 Pi}] Ας δούμε τους πρώτους 11 συντελεστές. TableForm[Table[{n, a[n], b[n]}, {n, 0, 10}], TableHeadings -> {None, {"n", "a[n]","b[n]"}}] Παρατηρούμε πως αυτοί μηδενίζονται για n>3. Μήπως όμως αυτό συμβαίνει μόνο για τα n που δοκιμάσαμε; Θα προσπαθήσουμε να αναλύσουμε την f σε όρους της μορφής sin(nφ) και cos(nφ). TrigReduce[f[φ]] Παρατηρούμε ότι η f αφενός αποτελείται μόνο από συνημίτονα, αφετέρου αυτά φτάνουν μέχρι το cos(3φ). Λόγω ορθογωνιότητας, λοιπόν, τα εσωτερικά γινόμενα της f με τα cos(nφ) για n>3 και όλα τα sin(nφ) θα είναι 0, όπερ συμπαρασύρει και τα αντίστοιχα $a_n, b_n$. Έτσι, η λύση μας αποτελείται μόνο από 4 (=3+1) όρους. Clear[u] u[φ_, ρ_] := Evaluate[uSeries[φ, ρ, 3]] u[φ, ρ] ParametricPlot3D[{ρ Cos[φ], ρ Sin[φ], u[φ, ρ]}, {ρ, 0, r}, {φ, 0, 2 Pi}]